中学数学基本上是初等数学知识，但是初等数学是高等数学的基础，而高等数学是初等数学的发展，高等数学对初等数学和中学数学具有一定的指导作用，为了解决学生从中学到大学这一突变所产生的诸多不适应问题，在中学教材和教学中适当地蕴含一些高等数学知识是必要的，事实上，中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子，这体现了我们教育家们的远见卓识，基于此，本文拟以柯西不等式为例，谈谈它在中学数学中的一些应用。

本文所说的柯西（Cauchy）不等式是指( i=1，2,……，n) （1）当且仅当时，等号成立。

这也是Holder不等式（其中k>1，k/>1，且，、，I=1，2，……，n）当k=2，k/=2时的情形。

不等式(1)的证明方法很多，中学生能接受的方法就有配方法、判别式法、数学归纳法等，这里不必赘述。

下面仅谈谈它在中学数学中的应用。

导出重要公式 　　 证明n个实数平方平均数不小于这n个数的算术平均数，即若，则 (2)证明：由柯西不等式所以故(2)式中当n=2时，为，这就是中学数学课本(下册)P15第11题。

不等式(2)把中学教材中仅有的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路。

2、导出点到直线的距离公式，即点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离上述非严格不等式仅在B(x1-x0)=A(y1-y0)，即PQ⊥l时取等号。

故公式，获证。

证明不等式 　　 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，在现行的高中教材中就有不少这样的题目，例如高中代数下册(必修)P32复习题五的第11题：已知，求证，此题的题设和题断一看就知道具有柯西不等式的开工，因而利用柯西不等式证明十分箪捷，(证略)。

又如P16第19题：已知a、b、c∈R+，求证，简证为：由柯西不等式，左边=。

获证。

下面再举一个含三角函数的不等式的证明题。

设a、b、c>0且acos2θ+bsin2θ

证明：由柯西不等式及题设，可得　故求最值 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。

例2 已知a、b、c∈R+且a+b+c=1，求的最大值。

解：由柯西不等式得当且仅当时等号成立。

故的最大值为。

例3 求的最小值。

解：由柯西不等式得　　所以，且当且仅当时等号成立。

故四 几何上的应用三角形三边a、b、c对应的高为ha、、hb、hc、r为此三角形内切圆半径。

若r，试判断此三角形的形状。

解：记三角形的面积为S，则2S=aha=bhb=chc，又因为2S=r(a+b+c)，所以ha、+hb+hc。

由柯西不等式得：，当且仅当a=b=c时取等号。

所以ha、+hb+hc≥9r，当且仅当a=b=c时取等号。

故ha、+hb+hc=9r时，三角形为等边三角形。

△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证： 　　证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=故原不等式获证。

以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。

　　以下几题供读者练习：已知x，y，z∈R+且x+y+z=1 ，求证。

已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值(答) 已知a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值。

(答) 求证 设P是△ABC内一点，aa2、a3为三角形三边之长，rr2、r3分别表示P到三边的距离，试证当P为△ABC内心时， 取最小值。