要介绍《十二平均律曲集》，就得先介绍什么是“十二平均律”。

而要介绍“十二平均律”，就得先介绍什么是“律”。

“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。

比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。

研究音律的学问叫做“律学”。

也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。

对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。

令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。

这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。

（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。

这些圣咏是西方现代音乐的源头。

） 学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。

而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。

所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。

对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。

律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。

一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。

声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。

频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。

（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。

举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。

另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。

） 需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。

打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。

100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。

换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照××2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。

（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。

大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近。

用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波”（harmonics），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。

这个ogg文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听。

） 由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。

用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”（octave）。

前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个do之间就是八度音程的关系。

也就是说，高音do的频率是do的两倍。

同样的，re和高音re之间也是八度音程的关系，高音re的频率是re的两倍。

而高音do上面的那个更高音的do，其频率就是do的4倍。

也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。

显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。

很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。

这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果。

“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。

比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8个音符，其中就包含了一个八度音程。

当然这个八度音程不会是do到高音do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。

明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。

这其实是律学的中心问题。

也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。

如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动。

而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。

如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。

这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。

因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。

由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。

他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。

那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。

一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。

这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。

这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。

（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置。

） 接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。

一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。

另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。

现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。

同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。

在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。

这个现象也被很多民族分别发现了。

比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。

我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。

具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。

如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。

得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。

实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。

古人于是换了一种方法。

与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。

可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。

没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。

接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。

就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。

我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。

可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。

律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事，只能从数学上想办法。

古人的对策就是“取近似值”。

他们注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。

这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。

这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。

这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。

其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。

由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。

西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。

我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。