所证不等式 [sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2. (1) 设s,R,r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。

根据三角形恒等式： [sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)； [cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)。

不等式(1)等价于 [sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/2)+sin(B/2)]^2≤3 (2) sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2)*sin(B/2)=<(R+r)/(2R) (3) 对不等式(1)、(2)作角变换：A/2→90°-A，B/2→90°-B，C/2→90°-C， 分别等价于,在锐角△ABC中 (cosA+cosB+cosC)^2≤(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 (4) (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2+(cosA+cosB)^2≤3 (5) 记T=sin(B/2)sin(C/2)+sin(C/2)sin(A/2)+sin(A/2)sin(B/2)。

对于三角形三内角A, B, C总存在如下关系： A≥60°≥B≥C, C≥B≥60°≥A。

因而总有： [sin(B/2)-1/2]*[sin(C/2)-1/2]≥0 <==> 4sin(B/2)*sin(C/2)≥2[sin(B/2)+sin(C/2)]-1 于是有 1+4sin(A/2)*sin(B/2*sin(C/2)≥2sin(A/2)*[sin(B/2)+sin(C/2)]+1-sin(A/2) 因为sin(B/2)*sin(C/2) 在B/2=C/2=(180°-A)/4时取得极大值，故有 2sin(B/2)*sin(C/2)≤2[sin(180°-A)/4]^2=[1-sin(A/2)]。

因此 1+4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)≥2T 由三角形三角恒等式: cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)+*sin(B/2)*sin(C/2) =[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2-[sin(A/2)]^2-[sin(B/2)]^2-[sin(C/2)]^2 即得不等式(1)。