阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。

它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。

因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。

其基本研究对象是模和向量空间。

阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。

有限阿贝尔群已经被彻底地研究了。

无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。

扩展资料：阿贝尔群例子整数集和加法运算 "+" 是阿贝尔群，指示为 (Z,+)，运算 + 组合两个整数形成第三个整数，加法是符合结合律的，零是加法单位元，所有整数 n 都有加法逆元 −n，加法运算是符合交换律的因为对于任何两个整数 m 和 n 有 m + n = n + m。

所有循环群 G 是阿贝尔群。

因此整数集 Z 形成了在加法下的阿贝尔群，整数模也是。

所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。

在交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。

特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。

所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。

阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。

矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。

但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群 - 一个例子是 2x2 旋转矩阵的群。

参考资料来源：百度百科-阿贝尔群。