费马点的几何确定2007年10月28日 星期日 12:43费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。

他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。

直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。

然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。

此外，费马对物理学也有重要贡献。

一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。

尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。

引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为： 在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。

解法如下：分别以AB 、AC为边向外侧作正三角形ABD 、ACE 连结CD 、BE交于一点，则该点 即为所求P点。

证明：分以下三种情况讨论： (1) 当∠BAC<120°时，如下图所示。

连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。

∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆 ∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60° 同理：∠APC=∠BPC=120° 以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF， 以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60° ∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD 另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心 将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。

则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。

GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。

从而CD为最短的线段。

(2) 当∠BAC=120°时，由以上作法可知所求的点即是A点. (3) 当∠BAC>120°时，若再按(1)中的做法，所求P点就会在△ABC的外部，这样，PA+PB+PC又会变大．故在此种情况下点A就是符合题意的点． 以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。

在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

（1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. （1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。

是内切圆和外切圆的中心。

△BPC≌△CPA≌△PBA。

（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。

证明 [编辑本段] (1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

(3)PA+PB+PC最短 平面四边型中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。

（1）在凸四边型ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

（2）在凹四边型ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。