中位线 1.中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 注意： (1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段． (2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段． (3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线． 2.中位线定理： (1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． (2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底。

并且等于两底和的一半． 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此。

它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E。

F，△ABC的面积． 分析 由条件知，EF。

EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长． 解 由已知，E。

F分别是AB，BD的中点，所以。

EF是△ABD的一条中位线，所以 由条件AD+EF=12(厘米)得 EF=4(厘米)， 从而 AD=8(厘米)。

由于E，G分别是AB，AC的中点。

所以EG是△ABC的一条中位线，所以 BC=2EG=2×6=12(厘米)， 显然。

AD是BC上的高，所以 例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B。

∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G。

AH⊥CF于H． (1)求证：GH‖BC； (2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米。

求GH． 分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样。

延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线。

所以GH‖BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度． (1)证 分别延长AG。

AH交BC于M，N，在△ABM中。

由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM。

所以 △ABG≌△MBG(ASA)． 从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)， 从而。

H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG‖MN。

即 HG‖BC． (2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以 AB=BM=9厘米。

AC=CN=14厘米． 又BC=18厘米，所以 BN=BC-CN=18-14=4(厘米)， MC=BC-BM=18-9=9(厘米)． 从而 MN=18-4-9=5(厘米)。

说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线。

这个三角形是等腰三角形”． (2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明． (3)从本题的证明过程中。

我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B。

∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么。

结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证． 例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′。

B′，C′，D′分别是AP。

PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′． 分析 由于A′。

B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP。

PB，BQ，QA的中点。

有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件。

不难证明这一点． 证 连接A′B′，B′C′，C′D′。

D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ。

△AQB，△APQ的中位线．从而 A′B′‖AB，B′C′‖PQ。

C′D′‖AB，D′A′‖PQ， 所以。

A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以 AB⊥BC。

BC‖PQ． 从而 AB⊥PQ， 所以 A′B′⊥B′C′， 所以四边形A′B′C′D′是矩形。

所以 A′C′=B′D′． ① 说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结。

积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的． 例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB。

E，F分别是AC，BD的中点．求证： 分析 在多边形的不等关系中。

容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点． 证 取AD中点G。

连接EG，FG，在△ACD中。

EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以 同理，由F。

G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线。

所以 在△EFG中， EF＞EG-FG． ③ 由①，②。

③ 例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB‖CD，E为BC的中点。

AD=DC+AB．求证：DE⊥AE． 分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°． 在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线。

若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解． 证 取梯形另一腰AD的中点F。

连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以 因为AD=AB+CD。

所以 从而 ∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而 ∠AED=∠2+∠3=90°。

所以 DE⊥AE． 例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E。

F分别是三边的中点，AA1，FF1。

DD1，EE1都垂直l于A1，F1。

D1，E1．求证： AA1+EE1=FF1+DD1． 分析 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线。

OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证． 证 连接EF，EA，ED．由中位线定理知。

EF‖AD，DE‖AF，所以ADEF是平行四边形。

它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O。

作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以 即 AA1+EE1=FF1+DD1． 练习十四 1．已知△ABC中。

D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE。

CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长． 2．已知△ABC中。

BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线。

AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米。

BC=18厘米，求FH的长． 3．已知在△ABC中，AB＞AC。

AD⊥BC于D，E，F。

G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD． 4．如图2-61所示．在四边形ABCD中。

AD=BC，E，F分别是CD。

AB的中点，延长AD，BC。

分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF． 5．在△ABC中，AH⊥BC于H。

D，E，F分别是BC。

CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE． 6．如图2-63所示．D，E分别在AB。

AC上，BD=CE，BE。

CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB。

AC于P，Q．求证：AP=AQ． 7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC。

E，F分别是AB，CD。